🤔 課程摘要

瑕積分處理的是兩種特殊情況下的定積分：一是積分區間為無窮大，二是積分函數在區間內存在不連續點（無限大）。這兩種情況都無法直接使用微積分基本定理。我們透過取極限的方式來定義並計算瑕積分的值。如果極限存在且為一個有限的數，我們稱此瑕積分收斂(convergent)；反之，若極限不存在或為無窮大，則稱其發散(divergent)。

• 第一型瑕積分 (Type 1): 無限積分區間
  定義: $\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{t\to\infty}\int_a^t f(x)dx$。類似地，我們也可以定義 $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ 和 $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$。對於後者，必須拆成兩個積分的和。
• 第二型瑕積分 (Type 2): 不連續的被積函數
  若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 除了 $c$ 點外皆連續，則定義: $\int_a^b f(x)dx = \lim_{t\to c}\int_a^t f(x)dx + \lim_{s\to c}\int_s^b f(x)dx$ (視不連續點的位置而定)。
• p-積分檢驗法 (p-test)
  一個重要的判別法：$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}dx$ 在 $p>1$ 時收斂，在 $p \le 1$ 時發散。
• 比較檢驗法 (Comparison Test)
  若 $f(x) \ge g(x) \ge 0$，則可利用已知 $g(x)$ 的瑕積分斂散性來判斷 $f(x)$ 的斂散性。

🎯 學習目的

• 辨識第一型（無限區間）與第二型（不連續函數）瑕積分。
• 能將瑕積分寫成極限的正確形式來進行計算。
• 判斷一個瑕積分是收斂還是發散，並在收斂時求出其值。
• 熟練應用 p-積分檢驗法來快速判斷特定形式的瑕積分的斂散性。
• 理解並應用比較檢驗法來判斷更複雜函數的瑕積分斂散性。